Альфа и омега
                               Краткий справочник
                                          Коротко обо всех областях нашей жизни
 

Алфавитный указатель  a б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш э ю я  

  • Измерение
  • Вселенная
  • Солнечная система

  • Вещество и поле

  • Земля

  • Живая природа

  • Человек

  • Государство и общество
  • Мир
  • СССР

  • Производство и потребление
  • Сельское хозяйство
  • Промышленность

  • Культура

  • Спорт

  • Карта сайта

  • Содержание справочника

Классические проблемы математики

Проблемы, связанные с построениями с помощью циркуля и ли­нейки (1—5) возникли в Древней Греции в V—IV вв. до н. э.
1. Удвоение куба. Задача на построение куба, объем которого вдвое больше объема данного ку­ба. П. Л. Ванцель доказал в 1837 г., что эта задача не имеет решения.
2. Проблема правильных многоугольников. Задача на построе­ние правильного n — угольника. К. Ф. Гаусс доказал в 1796 г., что задача имеет решение тогда и только тогда, когда все нечетные простые множители числа n не­одинаковы и имеют вид:
Fk=22k +1 (простые числа Ферма). Методы построения 17- и 257-угольников были известны К. Ф. Гауссу, однако, впервые были опубликованы: для 17-угольника К. Ф. фон Пфейдерером в 1802 г., для 257-угольника М. Г. фон Пауккером в 1822 г.
В библиотеке Геттингенского университета хранится рукопись, яв­ляющаяся итогом 10-летней рабо­ты О. Гермеса, которая содержит метод построения 65 537-угольника.
3. Трисекция угла. Задача о делении угла на три равные части. П. Л. Ванцель доказал в 1837 г., что задача разрешима только для некоторых частных случаев (например, для углов в 90°).
4. Проблема гиппократовых луночек. Задача на построение равновеликого квадрата для пло­ской фигуры, ограниченной дуга­ми двух окружностей (луночки). При отношении центральных углов дуг а: р = 1: 2, 1:3 и 2:3, решение было найдено Гиппокра­том в V в. до н. э., при отношении а:Р = 1:5 и 3:5 — М. Валлениусом в 1766 г. и независимо от не­го Л. Эйлером в 1771 г. Других типов квадрируемых луночек при рациональном а: (5 не существует (это доказали Н. Г. Чеботарев в 1935 г. и А. В. Дороднов в 1947 г.).
5. Квадратура круга. Задача на построение квадрата, равного по площади данному кругу. Ф. Линде­ман показал в 1882 г., что такое построение неосуществимо, доказав трансцендентность числа л. Проблема параллельных.   Начи­ная с I в. до н. э. делались попытки, исходя из остальных аксиом геометрии Евклида, доказать т. н. аксиому о параллельных: через точку А вне прямой а в плоско­сти,  проходящей  через Л  и о, можно провести лишь одну прямую, не пересекающую а. Создав в 1826 г. новую т. н. неевклидову геометрию, Н. И. Лоба­чевский доказал, что аксиома о параллельных  не  выводится из остальных аксиом. Проблема   полной   аксиоматизации    элементарной     геометрии. Проблема   возникла  в   Древней Греции в связи с критикой  первой такой попытки (Евклид IX в, до н. э.) построить полную систему аксиом так, чтобы все утверждения   элементарной   геометрии следовали из этих аксиом чисто логическим выводом без наглядности чертежей.
Такую полную систему аксиом создал Д. Гильберт в 1899 г. Проблема уравнений 5-й и высших степеней-основная проблема алгебры комплексных чисел. Задачи, возникшие после того, как в Италии в 1530-х гг. были получены формулы для решения уравнений 3-й и 4-й степеней.
1. Для уравнения n-й степени (n>5) найти формулу, выражающую его корни через коэффици­енты при помощи четырех арифметических действий и извлечения корня. Н. X. Абель доказал в 1826 г., что общей формулы для всех уравнений 5-й степени не существует. Э. Галуа указал в 1831 г. условия нахождения такой формулы для уравнения произвольно заданной степени п.
2. Показать, что уравнение n-ой степени с комплекснозначными коэффициентами имеет хотя бы один комплексный корень. К. Ф. Гаусс в 1799 г. привел дока­зательство этого факта, доказав основную теорему алгебры комплексных чисел.
3. Проблема Ферма (великая теоре­ма Ферма). Утверждение  теории чисел, согласно которому уравне­ние xn+yn=zn при n >2 не имеет целых положительных решений. Опубликована П. Ферма в 1670 г. В таком виде теорема до сих пор не доказана, но  установлена ее справедливость   для    достаточно больших чисел n.
4. Проблема четырех красок. Задача,   предложенная   Ф.   Госри   в 1952 г.: выяснить, можно ли всякую,  расположенную  на   сфере карту, раскрасить четырьмя кра­сками так, чтобы любые две области, имеющие общий участок границы в виде дуги, были раскрашены в разные цвета. К. Аппель и В. Хакен доказали в 1976 г., что так можно раскрасить любую карту. Проблема континуума (континуум-гипотеза). Задача, поставленная Г. Кантором в 1878 г.: вы­яснить, существует ли множество, в котором больше элементов, чем во множестве всех натуральных чисел, и меньше, чем во множестве всех вещественных чисел. К. Гёдель в 1938 г. и П. Коэн в 1963 г. показали, что как сущест­вование, так и несуществование такого множества не выводятся из аксиом теории множеств.

 


© 2008-2012
info@hochuvseznat.ru